trắc nghiệm toán học dành cho học sinh giỏi lớp 10 với 15 câu hỏi, bao gồm các lĩnh vực:
- Đại số và hình học giải tích (5 câu)
- Hình học không gian (3 câu)
- Tổ hợp và xác suất (2 câu)
- Bài toán thực tế và ứng dụng (5 câu)
Bài trắc nghiệm bao gồm nhiều dạng toán khác nhau:
- Hàm số và đồ thị
- Dãy số
- Logarit
- Hình học không gian
- Tính thể tích, khoảng cách và góc
- Tổ hợp và xác suất
- Các bài toán ứng dụng (kinh tế, vật lý, thống kê)
I. Đại Số và Hình Học Giải Tích
Câu 1: Cho hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$). Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm $A(1;0)$ và $B(3;0)$, đồng thời đi qua điểm $C(2;-1)$. Giá trị của $a + b + c$ là:
- A) -1
- B) 0
- C) 1
- D) 2
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} + \sqrt{z^2+1}$ với điều kiện $x + y + z = 3$ và $x, y, z \geq 0$.
- A) $3\sqrt{2}$
- B) $3\sqrt{3}$
- C) $3 + \sqrt{10}$
- D) $\sqrt{10} + 2$
Câu 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$, $u_2 = 3$ và $u_{n+2} = 4u_{n+1} – 3u_n$ với mọi $n \geq 1$. Khi đó, $u_{2025}$ bằng:
- A) $3^{2024}$
- B) $3^{2025}$
- C) $3^{2024} – 2 \cdot 1^{2024}$
- D) $3^{2025} – 2 \cdot 1^{2025}$
Câu 4: Nghiệm của phương trình $\log_2(x^2 – 3x + 3) = 1$ là:
- A) $x = 1$ hoặc $x = 3$
- B) $x = 0$ hoặc $x = 2$
- C) $x = 1$ hoặc $x = 2$
- D) $x = 2$ hoặc $x = 3$
Câu 5: Số các đường thẳng đi qua điểm $A(1;2)$ và cắt đường tròn $(C): x^2 + y^2 = 1$ tại hai điểm phân biệt là:
- A) Vô số
- B) 0
- C) 1
- D) 2
II. Hình Học Không Gian
Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA \perp$ mặt phẳng $(ABCD)$, $SA = a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
- A) $\frac{a^3}{3}$
- B) $\frac{a^3}{2}$
- C) $\frac{2a^3}{3}$
- D) $a^3$
Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $AA’ = 2a$ và $M$ là trung điểm của $BB’$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $AC’$ là:
- A) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
- B) $a$
- C) $\frac{a\sqrt{6}}{2}$
- D) $a\sqrt{2}$
Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 2, BC = 1$. Đỉnh $S$ cách đều bốn đỉnh của đáy và $SA \perp$ mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là:
- A) $\arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- B) $\arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$
- C) $\arccos\frac{2}{3}$
- D) $\arccos\frac{1}{3}$
III. Tổ Hợp và Xác Suất
Câu 9: Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20$ thỏa mãn $1 \leq x_i \leq 8$ với mọi $i \in {1, 2, 3, 4}$ là:
- A) $C^{19}_3 – 4C^{12}_3 + 6C^{5}_3 – 4C^{0}_3$
- B) $C^{19}_3 – 4C^{11}_3 + 6C^{3}_3 – 4C^{0}_3$
- C) $C^{19}_3 – 4C^{11}_3$
- D) $C^{16}_3$
Câu 10: Từ 10 học sinh nam và 8 học sinh nữ, người ta chọn ngẫu nhiên 5 học sinh để thành lập một nhóm học tập. Xác suất để trong nhóm có ít nhất 3 học sinh nam là:
- A) $\frac{C^{10}_3 \cdot C^{8}_2 + C^{10}_4 \cdot C^{8}_1 + C^{10}_5}{C^{18}_5}$
- B) $1 – \frac{C^{10}_0 \cdot C^{8}_5 + C^{10}_1 \cdot C^{8}_4 + C^{10}_2 \cdot C^{8}_3}{C^{18}_5}$
- C) $\frac{C^{10}_3 \cdot C^{8}_2 + C^{10}_4 \cdot C^{8}_1 + C^{10}_5 \cdot C^{8}_0}{C^{18}_5}$
- D) $\frac{C^{10}_3 \cdot C^{8}_2}{C^{18}_5}$
IV. Bài Toán Thực Tế và Ứng Dụng
Câu 11: Một doanh nghiệp sản xuất hàng hóa với chi phí theo công thức $C(x) = 0.01x^2 + 2x + 100$ (đơn vị: triệu đồng), trong đó $x$ là số sản phẩm (đơn vị: nghìn sản phẩm). Giá bán mỗi sản phẩm là 5 triệu đồng. Số sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận đạt cực đại là:
- A) 100 nghìn sản phẩm
- B) 150 nghìn sản phẩm
- C) 200 nghìn sản phẩm
- D) 250 nghìn sản phẩm
Câu 12: Một vật chuyển động trên trục Ox có vận tốc tại thời điểm $t$ (tính bằng giây) được xác định bởi công thức $v(t) = 3t^2 – 6t + 1$ (m/s). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $[1, 3]$ là:
- A) 3 m
- B) 4 m
- C) 5 m
- D) 6 m
Câu 13: Một cái thang dài 5m được dựa vào tường. Đầu trên của thang trượt xuống với vận tốc không đổi 0.3 m/s. Tốc độ của đầu dưới thang chuyển động ra xa tường tại thời điểm đầu trên thang cách mặt đất 3m là:
- A) 0.4 m/s
- B) 0.5 m/s
- C) 0.6 m/s
- D) 0.7 m/s
Câu 14: Một công ty cần ước tính tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng lớn. Sau khi kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm, người ta phát hiện 20 sản phẩm lỗi. Khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ sản phẩm lỗi trong lô hàng là:
- A) $(0.025, 0.075)$
- B) $(0.030, 0.070)$
- C) $(0.035, 0.065)$
- D) $(0.040, 0.060)$
Câu 15: Một khối lập phương có cạnh 2cm được cắt thành 8 khối lập phương nhỏ bằng nhau. Tỷ số giữa tổng diện tích bề mặt của 8 khối lập phương nhỏ và diện tích bề mặt của khối lập phương ban đầu là:
- A) 1
- B) 1.5
- C) 2
- D) 2.5
- A
- A
- B
- C
- A
- A
- C
- B
- A
- C
- B
- B
- B
- A
- C